Penyelesaian Persamaan Non Linier menggunakan Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson biasa digunakan dalam mencari akar dari suatu persamaan non linier, jika diasumsikan f mempunyai turunan kontinu f’. Metode Newton Rapshon sering digunakan karena kesederhanaannya dan mempunyai konvergensi yang cepat. Karena metode ini merupakan metode Terbuka, maka tetap diperlukan nilai tebakan awal untuk Xo. Secara geometri, metode Newton Raphson hampir sama dengan metode regula falsi, bedanya garis yang dipakai adalah garis singgung. Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan awal, dilanjutkan dengan mencari titik (x0, f(x0)). Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0, f(x0)), sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x0, f(x0)). Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)). Dari titik (x1, f(x1)) kemudian dibuat garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x1, f(x1)).

Metode Numerik - Visualisasi Metode Newton Raphson

Algoritma Metode Newton Raphson :

1. Definisikan fungsi f(x) dan f'(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f1(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

Contoh:

Hitung akar f(x)=e^x – 5x^2,

ε = 0.00001

x0 = 0.5

Penyelesaian

Sehingga iterasi Newton Raphson nya sebagai berikut:

Hasil setiap iterasi sebagai berikut:

Jadi, hampiran akarnya adalah x=0.605267.

Kode Progran Metode Newton Raphson menggunakan Turbo Pascal

Berikut ini adalah kode program mencari akar dengan metode Newton Raphson dengan menggunakan bahasa Turbo Pascal

Program Newtonraphson;
Uses Crt;

Function F(X:Real):Real;
Begin
  F:=Exp(X)-4*X;
End;

Function G(X:Real):Real;
Begin
  G:=Exp(X)-4;
End;

Var Xl,Xb,E,M : Real;
     i : Integer;
Begin
  Clrscr;
  Writeln('Program Metode Newton Raphson');
  Writeln('=============================');
  E:=0.0001;
  Write('Masukkan X : ');Readln(Xl);Writeln;
  i:=0;
  Repeat
    Xb:=Xl-(F(Xl)/G(Xl));
    M:= Abs(Xl-Xb);
    Xl:=Xb;
    i:=i+1;
    Writeln ('Iterasi Ke ',i,'= ',Xb:0:8);
  Until M <> E
  Writeln;
  Writeln ('Akarnya Adalah = ',Xb:0:6);
  Readln;
End.

Kode Progran Metode Newton Raphson menggunakan Matlab

function newtonraphson
  clc;
  clear;
  disp('Program Metode Newton Raphson');
  disp('=============================');
  E=0.0001;
  x0=input('Masukkan X awal :');
  i=0;
  M=9;
  xb=0;
  disp('_______________________________________________');
  disp(' i           xi          f(xi)     epsilon');
  disp('_______________________________________________');
  
  while (E<M)
    fx=exp(x0)-4*x0;
    gx=exp(x0)-4;
    xb=x0-(fx/gx);
    M= abs(x0-xb);
    x0=xb;
    i=i+1;
    fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,xb,fx,M);
  end
  disp('------------------------------')
  fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb);
end

Output

Program Metode Newton Raphson
=============================
Masukkan X awal :5
_______________________________________________
 i           xi          f(xi)     epsilon
_______________________________________________
  1     4.110793   128.413159     0.889207
  2     3.329113    44.551908     0.781680
  3     2.718702    14.597128     0.610412
  4     2.334689     4.285820     0.384012
  5     2.178595     0.987494     0.156095
  6     2.153872     0.119504     0.024722
  7     2.153293     0.002677     0.000580
  8     2.153292     0.000001     0.000000
------------------------------
Akarnya Adalah = 2.15329236