Penyelesaian Persamaan Non Linier menggunakan Metode Biseksi

Pada sesi metode numerik ini akan kita bahas salah satu metode penyelesaian persamaan non linier, yaitu: metode biseksi. Namun Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu perbedaan antara persamaan linier dan persamaan non linier.

Perbedaan Persamaan Linier dan Persamaan Non Linier

Dalam matematika bentuk persamaan secara umum dibagi menjadi dua bagian, yaitu : persamaan linear dan persamaan non linear. Perbedaan mendasar dari kedua persamaan tersebut adalah :

Bentuk Persamaan

Dari bentuk persamaannya persamaan linear mengandung variable bebas yang berpangkat 1 (satu) atau 0 (nol). Persamaan non linear mengandung variable bebas yang berpangkatkan bilangan real.

Grafik

Dari bentuk grafik yang dihasilkan, persamaan linear akan menghasilkan grafik yang berbentuk garis lurus. Sedangkan pada persamaan non linear akan membentuk grafik yang bukan garis lurus.

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Dalam bidang sains atau pun terapan sering kali berhadapan dengan masalah yang berkaitan dengan mencari solusi persamaan non linear (akar persamaan).

Persamaan non linear adalah persamaan yang mempunyai peubah dengan pangkat terkecil adalah 1.

Masalah pencarian solusi persamaan linear dapat dirumuskan dengan singkat sebagai berikut : tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x) =0, yaitu nilai x = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol.

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif (looping). Metode yang digunakan dalam penyelesaian persamaan non linear adalah :

• Metode Biseksi
• Metode Regula Falsi
• Metode Newton Raphson
• Metode Secan

Langkah-langkah Metode Biseksi

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Metode Biseksi

Langkah 1

Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar  sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa

f(a) . f(b) < 0

Langkah 2

Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :

c=(a+b)/2

Langkah 3

Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:

• Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda.
• f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi.
• f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi

Langkah 4

Menentukan berhentinya itersi:

Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.

Latihan

syms x;
f=input('masukkan persamaan : ');
a=input('masukkan nilai a : ');
b=input('masukkan nilai b : ');
et=input('masukkan Error Toleransi : ');
e=abs(b-a);
i=1;
disp(' i      a       b      c     f(a)    f(b)   f(c)    E');
disp('----------------------------------------------------------');
while e > et
  fa=subs(f,x,a);
  fb=subs(f,x,b);
  c=(a+b)/2;
  fc= subs(f,x,c);
  fprintf('%3.0f %6.4f %6.4f %6.4f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n',
           i, a, b, c, fa, fb, fc, e);
  if fa*fc < 0
     b=c; %geser kiri
  else
     a=c; %geser kanan
   end
  e=abs(b-a);  % menghitung error
  i=i+1;
  end

Hasil eksekusi :

masukkan persamaan : x^3-3*x^2-0.5
masukkan nilai a : 0
masukkan nilai b : 3.5
masukkan Error Toleransi : 0.02
 i      a       b      c     f(a)    f(b)   f(c)    E
----------------------------------------------------------
  1 0.0000 3.5000 1.7500 -0.5000  5.6250 -4.3281  3.5000
  2 1.7500 3.5000 2.6250 -4.3281  5.6250 -3.0840  1.7500
  3 2.6250 3.5000 3.0625 -3.0840  5.6250  0.0862  0.8750
  4 2.6250 3.0625 2.8438 -3.0840  0.0862 -1.7636  0.4375
  5 2.8438 3.0625 2.9531 -1.7636  0.0862 -0.9088  0.2188
  6 2.9531 3.0625 3.0078 -0.9088  0.0862 -0.4293  0.1094
  7 3.0078 3.0625 3.0352 -0.4293  0.0862 -0.1761  0.0547
  8 3.0352 3.0625 3.0488 -0.1761  0.0862 -0.0461  0.0273