Metode Numerik – Interpolasi Lagrange

KONSEP INTERPOLASI

Aproksimasi merupakan salah satu usaha untuk menyajikan data berbentuk grafis menjadi kalimat matematis. Secara umum aproksimasi harus mendapatkan suatu fungsi yang melewati semua titik yang diketahui. Aproksimasi ini dikenal sebagai interpolasi. Karena harus melewati semua titik yang ada, maka ada banyak fungsi yang memenuhi, kecuali jika fungsi tersebut mempunyai syarat tertentu.
x = xi → f(xi) = yi
Sedangkan secara khusus aproksimasi tidak mensyaratkan melewati semua titik. Walaupun demikian solusi yang didapat haruslah merupakan hasil terbaik yang mendekati semua titik yang diketahui. Aproksimasi secara khusus lebih dikenal dengan istillah regresi.
x = xi → f(xi) ≈ yi
Ada banyak metode interpolasi yang dapat diterapkan, diantaranya adalah:

  1. Interpolasi Newton
  2. Interpolasi Lagrange
  3. Interpolasi Hermite
  4. Interpolasi Invers

KONSEP INTERPOLASI LAGRANGE

Interpolasi Lagrange merupakan teknik yang popular, karena menggunakan fungsi dalam bentuk polinom. Jika fungsi yang dicari adalah f(x) dan cacah data n maka :

1

2

3

4

5

Baca lebih lanjut

Metode Numerik – Kisi-kis UAS 2012

Metode Numerik – Kisi-kis UAS 2012

Soal 1

Terdapat 4 pasangan titik

xi

yi

0

-5

1

-1

2

0

4

3

carilah fungsi aproximasinya dengan menggunakan interpolasi lagrange

Soal 2

Miasalkan a, b, c, dan d adalah 4 digit terakhir nomor mahasiswa anda, jika ada yang bernilai 0 diganti dengan 5, carilah akar persamaan berikut:

f(x) = ax3+bx2+cx+d

Selesaikan dengan 3 metode dari 4 metode berikut:

  1. Metode biseksi
  2. Metode regula falsi
  3. Metode iterasi titik tetap
  4. Metode Newton rapshon

Error toleransi= 0.01, Max Iterasi = 5. Gunakan ketelitian 4 desimal

Download:

Metode Numerik: Kisi-Kisi UAS

Metode Numerik – Program Metode Regula Falsi Menggunakan Matlab

Metode Numerik – Program Metode Regula Falsi Menggunakan Matlab

syms x;
f=input('masukkan persamaan f(x): ');
a=input('masukkan nilai a : ');
b=input('masukkan nilai b : ');
et=input('masukkan Error Toleransi : ');
e=abs(b-a);
i=1;
disp(' i      a       b      c     f(a)    f(b)   f(c)    E');
disp('----------------------------------------------------------');
clama=a;
cbaru=b;
while (e > et ) & (clama ~= cbaru);
    fa=subs(f,x,a);
    fb=subs(f,x,b);
    %c=(a+b)/2;
    clama=cbaru;
    c=(fb*a-fa*b)/(fb-fa);
    cbaru=c;
    fc= subs(f,x,c);
    fprintf('%3.0f %6.4f %6.4f %12.10f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n', i, a, b, c, fa, fb, fc, e);
    if fa*fc < 0
       b=c; %geser kiri
    else
       a=c; %geser kanan
    end
    e=abs(b-a);  % menghitung error
    i=i+1;
end

Keluaran:

regulafalsi
masukkan persamaan f(x): x^2-2*x-2
masukkan nilai a : 2
masukkan nilai b : 3
masukkan Error Toleransi : 0.01
i     a       b      c        f(a)      f(b)    f(c)     E
----------------------------------------------------------
 1 2.0000 3.0000 2.6666666667 -2.0000  1.0000 -0.2222  1.0000
 2 2.6667 3.0000 2.7272727273 -0.2222  1.0000 -0.0165  0.3333
 3 2.7273 3.0000 2.7317073171 -0.0165  1.0000 -0.0012  0.2727
 4 2.7317 3.0000 2.7320261438 -0.0012  1.0000 -0.0001  0.2683
 5 2.7320 3.0000 2.7320490368 -0.0001  1.0000 -0.0000  0.2680
 6 2.7320 3.0000 2.7320506804 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2680
 7 2.7321 3.0000 2.7320507984 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
 8 2.7321 3.0000 2.7320508069 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
 9 2.7321 3.0000 2.7320508075 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
10 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
11 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
12 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
13 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
14 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000  0.0000  0.2679
15 2.7321 3.0000 2.7320508076  0.0000  1.0000  0.0000  0.2679

Penyelesaian Persamaan Non Linier Menggunakan Metode Secant

Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang tangguh dalam mencari nilai hampiran akar untuk persamaan non linier. Tetapi, tidaksemua fungsi dapat mudah diturunkan. Oleh karena itu, maka metode Newton Raphson ini dimodifikasi, dan diberi nama metode Secant. Berbeda dengan metode Newton Raphson, pada metode secant tidak diperlukan turunan pertama dari
fungsi non liniernya, tetapi diperlukan dua buah nilai awal. Berikut ilustrasi grafiknya.

Metode Numerik - Ilustrasi Metode Secant

Metode Numerik - Ilustrasi Metode Secant

Sehingga diperoleh prosedur iterasinya adalah sebagai berikut:

Metode Numerik - Iterasi Metode Secant

Proses Iterasi akan berhenti apabila memenuhi kondisi dibawah ini.

Metode Numerik - Galat Metode SecantContoh:

Hitung Akar persamaan non linier berikut ini :

 

Metode Numerik - Contoh Metode Secant

dengan ε =n 0.00001. Tebakan nilai awal akar x0=0.5 dan x1=1.

Penyelesaian

Metode Numerik - Iterasi Metode Secant

Implementasi Metode Secant dalam bahasa C

#include
#include
double f(double x)
{
    return cos(x) - x*x*x;
}
double SecantMethod(double xn_1, double xn, double e, int m)
{
    int n;
    double d;
    for (n = 1; n <= m; n++)
    {
        d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
        if (fabs(d) < e)
            return xn;
        xn_1 = xn;
        xn = xn - d;
    }
    return xn;
}
int main(void)
{
    printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
    return 0;
}

Implementasi Metode Secant Menggunakan Matlab

function metodesecant;
  clc;
  clear;
  disp('Program Metode Secant');
  disp('=============================');
  E=0.0001;
  x0=input('Masukkan X0  :');
  xb=input('Masukkan X1  :');
  i=0;
  M=9;
  disp('_______________________________________________');
  disp(' i           xi          f(xi)     epsilon');
  disp('_______________________________________________');

  while (E
    fx=exp(x0)-5*x0^2;
    fxb=exp(xb)-5*xb^2;
    d = xb - (fxb*(xb-x0)/(fxb-fx));
    M=abs(x0-xb);
    x0 = xb;
    xb = d;
    i=i+1;
    fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,xb,fx,M);
  end;
   disp('_______________________________________________');

  fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb);
end

Hasilnya

Program Metode Secant
=============================
Masukkan X0  :0.5
Masukkan X1  :1
_______________________________________________
 i           xi          f(xi)     epsilon
_______________________________________________
  1     0.574376     0.398721     0.500000
  2     0.596731    -2.281718     0.425624
  3     0.605533     0.126483     0.022354
  4     0.605265     0.035734     0.008803
  5     0.605267    -0.001123     0.000268
  6     0.605267     0.000009     0.000002
_______________________________________________
Akarnya Adalah = 0.60526712