Metode Numerik – Kisi-kisi Ujian akhir semester

Dowload: Kisi-kisi UAS Metode numerik

Metode Numerik – Program Metode Regula Falsi Menggunakan Matlab

Metode Numerik – Program Metode Regula Falsi Menggunakan Matlab

syms x;
f=input('masukkan persamaan f(x): ');
a=input('masukkan nilai a : ');
b=input('masukkan nilai b : ');
et=input('masukkan Error Toleransi : ');
e=abs(b-a);
i=1;
disp(' i      a       b      c     f(a)    f(b)   f(c)    E');
disp('----------------------------------------------------------');
clama=a;
cbaru=b;
while (e > et ) & (clama ~= cbaru);
    fa=subs(f,x,a);
    fb=subs(f,x,b);
    %c=(a+b)/2;
    clama=cbaru;
    c=(fb*a-fa*b)/(fb-fa);
    cbaru=c;
    fc= subs(f,x,c);
    fprintf('%3.0f %6.4f %6.4f %12.10f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n', i, a, b, c, fa, fb, fc, e);
    if fa*fc < 0
       b=c; %geser kiri
    else
       a=c; %geser kanan
    end
    e=abs(b-a);  % menghitung error
    i=i+1;
end

Keluaran:

regulafalsi
masukkan persamaan f(x): x^2-2*x-2
masukkan nilai a : 2
masukkan nilai b : 3
masukkan Error Toleransi : 0.01
i     a       b      c        f(a)      f(b)    f(c)     E
----------------------------------------------------------
 1 2.0000 3.0000 2.6666666667 -2.0000  1.0000 -0.2222  1.0000
 2 2.6667 3.0000 2.7272727273 -0.2222  1.0000 -0.0165  0.3333
 3 2.7273 3.0000 2.7317073171 -0.0165  1.0000 -0.0012  0.2727
 4 2.7317 3.0000 2.7320261438 -0.0012  1.0000 -0.0001  0.2683
 5 2.7320 3.0000 2.7320490368 -0.0001  1.0000 -0.0000  0.2680
 6 2.7320 3.0000 2.7320506804 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2680
 7 2.7321 3.0000 2.7320507984 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
 8 2.7321 3.0000 2.7320508069 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
 9 2.7321 3.0000 2.7320508075 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
10 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
11 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
12 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
13 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000 -0.0000  0.2679
14 2.7321 3.0000 2.7320508076 -0.0000  1.0000  0.0000  0.2679
15 2.7321 3.0000 2.7320508076  0.0000  1.0000  0.0000  0.2679

Penyelesaian Persamaan Non Linier Menggunakan Metode Secant

Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang tangguh dalam mencari nilai hampiran akar untuk persamaan non linier. Tetapi, tidaksemua fungsi dapat mudah diturunkan. Oleh karena itu, maka metode Newton Raphson ini dimodifikasi, dan diberi nama metode Secant. Berbeda dengan metode Newton Raphson, pada metode secant tidak diperlukan turunan pertama dari
fungsi non liniernya, tetapi diperlukan dua buah nilai awal. Berikut ilustrasi grafiknya.

Metode Numerik - Ilustrasi Metode Secant

Sehingga diperoleh prosedur iterasinya adalah sebagai berikut:

Proses Iterasi akan berhenti apabila memenuhi kondisi dibawah ini.

Contoh:

Hitung Akar persamaan non linier berikut ini :

 

dengan ε =n 0.00001. Tebakan nilai awal akar x0=0.5 dan x1=1.

Penyelesaian

Implementasi Metode Secant dalam bahasa C

#include
#include
double f(double x)
{
    return cos(x) - x*x*x;
}
double SecantMethod(double xn_1, double xn, double e, int m)
{
    int n;
    double d;
    for (n = 1; n <= m; n++)
    {
        d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
        if (fabs(d) < e)
            return xn;
        xn_1 = xn;
        xn = xn - d;
    }
    return xn;
}
int main(void)
{
    printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
    return 0;
}

Implementasi Metode Secant Menggunakan Matlab

function metodesecant;
  clc;
  clear;
  disp('Program Metode Secant');
  disp('=============================');
  E=0.0001;
  x0=input('Masukkan X0  :');
  xb=input('Masukkan X1  :');
  i=0;
  M=9;
  disp('_______________________________________________');
  disp(' i           xi          f(xi)     epsilon');
  disp('_______________________________________________');

  while (E
    fx=exp(x0)-5*x0^2;
    fxb=exp(xb)-5*xb^2;
    d = xb - (fxb*(xb-x0)/(fxb-fx));
    M=abs(x0-xb);
    x0 = xb;
    xb = d;
    i=i+1;
    fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,xb,fx,M);
  end;
   disp('_______________________________________________');

  fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb);
end

Hasilnya

Program Metode Secant
=============================
Masukkan X0  :0.5
Masukkan X1  :1
_______________________________________________
 i           xi          f(xi)     epsilon
_______________________________________________
  1     0.574376     0.398721     0.500000
  2     0.596731    -2.281718     0.425624
  3     0.605533     0.126483     0.022354
  4     0.605265     0.035734     0.008803
  5     0.605267    -0.001123     0.000268
  6     0.605267     0.000009     0.000002
_______________________________________________
Akarnya Adalah = 0.60526712

Penyelesaian Persamaan Non Linier menggunakan Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson biasa digunakan dalam mencari akar dari suatu persamaan non linier, jika diasumsikan f mempunyai turunan kontinu f’. Metode Newton Rapshon sering digunakan karena kesederhanaannya dan mempunyai konvergensi yang cepat. Karena metode ini merupakan metode Terbuka, maka tetap diperlukan nilai tebakan awal untuk Xo. Secara geometri, metode Newton Raphson hampir sama dengan metode regula falsi, bedanya garis yang dipakai adalah garis singgung. Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan awal, dilanjutkan dengan mencari titik (x0, f(x0)). Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0, f(x0)), sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x0, f(x0)). Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)). Dari titik (x1, f(x1)) kemudian dibuat garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x1, f(x1)).

Metode Numerik - Visualisasi Metode Newton Raphson

Metode Iterasi Titik tetap

Metode Iterasi Titik tetap kadang-kadang dinamakan metode iterasi sederhana atau metode langsung atau metode substitusi beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya yang mudah dibentuk, yaitu kita ubah persamaan f (x) = 0 menjadi bentuk x = g(x), kemudian dibentuk menjadi prosedur iterasi,

Sistem Persamaan Linier

Sebelum kita membahas berbagai metode numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linier, maka akan dibahas tentang konsep dasar yang berhubungan dengan sistem persamaan linier.

Pengertian Sistem Persamaan Linier

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier.

Bentuk Umum:

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Metode Numerik – Metode Regula Falsi

Sesi metode numerik ini membahas salahsatu metode  penyelesaian sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode regula faksi.

Pada umumnya pencarian akar dengan menggunakan metode biseksi selalu dapat menemukan akar, tetapi kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat. Untuk mempercepat pencarian akar tersebut, maka nilai-nilai dari f (a) dan f (b) perlu diperhitungkan. Metode yang memanfaatkan nilai f (a) dan f (b) ini adalah metode regula falsi (metode titik palsu).

Seperti metode bagi-dua, metode regula falsi dimulai dengan dua titik awal a0 dan b0 sedemikian sehingga f(a0) dan f(b0) berlawanan tanda. Berdasarkan teorema nilai antara, ini berarti fungsi f memiliki akar dalam selang [a0, b0]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut selang [ak, bk] yang semuanya berisi akar f.

Pada iterasi ke-k, bilangan

dihitung. Seperti yang diterangkan di bawah, ck adalah akar dari garis sekan melalui (ak, f(ak)) dan (bk, f(bk)). Jika f(ak) dan f(ck) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan ak+1 = ck dan bk+1 = bk. Jika tidak, kita menetapkan ak+1 = ak dan bk+1 = ck. Proses ini diteruskan hingga akar dihampiri dengan cukup baik.

Berikut ini implementasi menggunakan MATLAB

function biseksi
clc;
a=input('Masukkan Nilai a=');
b=input('Masukkan nilai b=');
epsilon=input('Masukkan nilai Epsilon=');
E=abs(a-b);
i=0;
fprintf('-----------------------------------------------------------------------\n')
fprintf('   i        a            b         m          f(a)         f(m)         E\n ')
fprintf('------------------------------------------------------------------------\n')
while (E>epsilon)
   i=i+1;
   fprintf('%5.0f%12.7f%12.7f',i,a,b);

   fa= a^2-2*a-2;
   fb= b^2-2*b-2;
   m = b-(fb*(b-a))/(fb-fa);
   fm= m^2-2*m-2;
   if (fa*fm >0)
      a=m;
   else
       b=m;
   end
   E=abs(b-a);
   fprintf('%12.7f%12.7f%12.7f%12.7f\n', m,fa,fm,E);
 end

Hasil Running Programnya sebagai berikut:

Masukkan Nilai a=2
Masukkan nilai b=3
Masukkan nilai Epsilon=0.01
-----------------------------------------------------------------------
   i        a            b         m          f(a)         f(m)         E
 ------------------------------------------------------------------------
    1   2.0000000   3.0000000   2.6666667  -2.0000000  -0.2222222   0.3333333
    2   2.6666667   3.0000000   2.7272727  -0.2222222  -0.0165289   0.2727273
    3   2.7272727   3.0000000   2.7317073  -0.0165289  -0.0011898   0.2682927
    4   2.7317073   3.0000000   2.7320261  -0.0011898  -0.0000854   0.2679739
    5   2.7320261   3.0000000   2.7320490  -0.0000854  -0.0000061   0.2679510
    6   2.7320490   3.0000000   2.7320507  -0.0000061  -0.0000004   0.2679493
    7   2.7320507   3.0000000   2.7320508  -0.0000004  -0.0000000   0.2679492
    8   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000  -0.0000000   0.2679492
    9   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000  -0.0000000   0.2679492
   10   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000  -0.0000000   0.2679492
   11   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000  -0.0000000   0.2679492
   12   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000  -0.0000000   0.2679492
   13   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000  -0.0000000   0.2679492
   14   2.7320508   3.0000000   2.7320508  -0.0000000   0.0000000   0.0000000

Sistem Persamaan Non Linier menggunakan Metode Biseksi

Pada sesi metode numerik ini akan kita bahas salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linier dan linier. Namun Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu perbedaan antara persamaan linier dan persamaan non linier.

Perbedaan Persamaan Linier dan Persamaan Non Linier

Dalam matematika bentuk persamaan secara umum dibagi menjadi dua bagian, yaitu : persamaan linear dan persamaan non linear. Perbedaan mendasar dari kedua persamaan tersebut adalah :

Bentuk Persamaan

Dari bentuk persamaannya persamaan linear mengandung variable bebas yang berpangkat 1 (satu) atau 0 (nol). Persamaan non linear mengandung variable bebas yang berpangkatkan bilangan real.

Grafik

Dari bentuk grafik yang dihasilkan, persamaan linear akan menghasilkan grafik yang berbentuk garis lurus. Sedangkan pada persamaan non linear akan membentuk grafik yang bukan garis lurus.

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Dalam bidang sains atau pun terapan sering kali berhadapan dengan masalah yang berkaitan dengan mencari solusi persamaan non linear (akar persamaan).

Persamaan non linear adalah persamaan yang mempunyai peubah dengan pangkat terkecil adalah 1.

Masalah pencarian solusi persamaan linear dapat dirumuskan dengan singkat sebagai berikut : tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x) =0, yaitu nilai x = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol.

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif (looping). Metode yang digunakan dalam penyelesaian persamaan non linear adalah :

• Metode Biseksi
• Metode Regula Falsi
• Metode Newton Raphson
• Metode Secan

Metode Numerik – Galat

Dalam praktek sehari-hari, misalkan dalam bidang teknik dan bisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu problema matematika. Hal ini bukan disebabkan oleh cara mencari penyelesaian yang
tidak diketahui, namun karena adanya fakta bahwa penyelesaian yang diinginkan tidak dapat dinyatakan secara elementer atau adanya fungsi-fungsi yang telah diketahui. Karena itu metode numerik menjadi amat penting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan model matematika dalam bidang sains
dan teknologi. Teknologi komputer yang berkemampuan tinggi ikut mendukung pengembangan metode numerik.
Metode numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan problema-problema yang disajikan
dalam model matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritmatika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan data numerik yang disajikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer.

Proses penyelesaian mungkin memerlukan puluhan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas problema yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan, metode yang dipakai dan sebagainya. Apabila jumlah operasi hitung yang diperlukan hanya berjumlah puluhan, maka problema dapat diselesaikan
secara manual atau dengan menggunakan kalkulator. Tetapi bila problema memerlukan jutaan operasi hitung, maka penyelesaiannya harus dilakukan dengan bantuan komputer berkecepatan tinggi. Disinilah kemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam metode numerik.

Pemilihan metode yang efisien merupakan aspek lain yang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan semakin terasa di dalam menyelesaikan problema-problema berskala besar yang melibatkan ribuan variabel.

Contoh:

Sumber-sumber Galat

Selain kecepatan, aspek lain yang sangat penting untuk diperhatikan di dalam metode numerik adalah keakuratan penyelesaian yang diperoleh. Hal ini disebabkan penyelesaian yang diperoleh melalui metode numerik
umumnya merupakan solusi hampiran, yang tentunya terdapat beberapa galat (kesalahan numerik).

Berikut ini merupakan beberapa sumber galat (error) pada suatu solusi hampiran yang diperoleh dengan menggunakan suatu metode numerik, yaitu:

• Model matematika untuk suatu fenomena alam.
• Galat bawaan dari data masukan (parameter masukan).
• Metode penyelesaian.
• Adanya pembulatan di dalam melakukan operasi-operasi aritmatika atau operasi–operasi jenis lain pada bilangan-bilangan yang terkait.

Selain sumber-sumber tersebut, kesalahan numerik juga dapat  disebabkan oleh kekurang-cermatan manusia (human error), penggunaan alat ukur dan penggunaan mesin hitung, kalkulator atau komputer. Kekurangcermatan manusia dapat menyebabkan kesalahan di dalam merumuskan model matematika suatu fenomena alam dan hasil pengukuran (kesalahan membaca alat ukur). Pemakaian alat ukur yang tidak akurat juga akan menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat. Keterbatasan mesin hitung, kalkulator atau komputer dalam menyajikan suatu bilangan akan menghasilkan kesalahan-kesalahan pembulatan atau pemotongan.
Galat yang disebabkan oleh kekurang-telitian model matematika dan oleh galat bawaan dari data masukan bersifat inherent (bawaan/melekat). Galat ini mungkin tetap ada, sekalipun penyelesaiannya diperoleh menggunakan metode eksak. Tingkat keakuratan suatu model matematika dalam menjelaskan suatu fenomena alam diuji dengan membandingkan hasil-hasil beberapa eksperimen dan beberapa hasil penyelesaian khusus menggunakan beberapa parameter masukan.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa galat dalam metode numerik dapat dikelompokkan menjadi tiga macam, yaitu:

• Galat bawaan (inherent error), yaitu galat yang dapat disebabkan oleh kesalahan hasil pengukuran, kesalahan data awal, dan sejenisnya.
• Galat pemotongan (truncation error), yaitu galat yang berkaitan dengan metode numerik yang dipakai. Galat ini dapat terjadi karena adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyangkut
  perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena penghentian proses perhitungan.
• Galat pembulatan (rounding off error), yaitu galat yang berkaitan dengan penggunaan sejumlah terbatas angka signifikan.

Galat Hampiran

Pemahaman tentang galat di dalam meode numerik merupakan sesuatu yang tidak dapat diabaikan, mengingat hakekat komputasi numerik menggunakan metode–metode hampiran nilai.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dd

Metode Numerik 01 – Pengantar Metode Numerik

Pada pertemuan pertama ini akan dibahas tentang konsep dasar Metode numerik, meliputi: Pengertian metode numerik, Tujuan metode numerik, manfaat metode numerik dll

Pengertian Metode Numerik

Metode  Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan  dengan operasi perhitungan

Metode Numerik